Pré-calcul Exemples

$\frac{2 \tan (22.5)}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (22.5)$ est $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{45}{2})}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{2 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}})}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

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Étape 1.4.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.9

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.10

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.12

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.15

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.2

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.16.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.16.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.16.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.16.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 1.4.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.16.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.4.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.16.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 1.4.18

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (22.5)}$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (22.5)$ est $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{45}{2})}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}})}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}^{2}}$

Étape 2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}^{2}}$

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}^{2}}$

Étape 2.4.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.9

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}^{2}}$

Étape 2.4.10

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}^{2}}$

Étape 2.4.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}^{2}}$

Étape 2.4.12

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.15

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.2

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.4.16.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.16.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.16.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.16.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 2.4.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.16.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}}^{2}}$

Étape 2.4.16.4.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}}^{2}}$

Étape 2.4.16.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}}^{2}}$

Étape 2.4.16.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}}^{2}}$

Étape 2.4.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 2.4.18

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Étape 3

Réécrivez ${\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}$ comme $3 - 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ comme ${(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {({(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Étape 3.5

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - (3 - 2 \sqrt{2})}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Étape 6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 7

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})}$

Étape 8.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Étape 8.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 9

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ par $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ par $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{(- 1 + \sqrt{2}) (- 1 - \sqrt{2})}$

Étape 11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 1 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$

Étape 13

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Étape 14

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ comme $- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ .

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Étape 16

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Étape 17

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Étape 18

Réécrivez $- 1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ comme $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$- (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 20

Multipliez $- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 20.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 20.2

Multipliez $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 21

Multipliez $- - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

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Étape 21.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 21.2

Multipliez $\sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ par $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Étape 22

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Forme décimale :

$1.000000000000 \dots$