Pré-calcul Exemples

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{9}, \pm 12, \pm 24$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$9 {(- 2)}^{4} - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$9 \cdot 16 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $16$ .

$144 - 9 {(- 2)}^{3} - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$144 - 9 \cdot - 8 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 9$ par $- 8$ .

$144 + 72 - 58 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$144 + 72 - 58 \cdot 4 + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 58$ par $4$ .

$144 + 72 - 232 + 4 (- 2) + 24$

Étape 4.1.7

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$144 + 72 - 232 - 8 + 24$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $144$ et $72$ .

$216 - 232 - 8 + 24$

Étape 4.2.2

Soustrayez $232$ de $216$ .

$- 16 - 8 + 24$

Étape 4.2.3

Soustrayez $8$ de $- 16$ .

$- 24 + 24$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24}{x + 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(9)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$

	$9$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$
	$9$	$- 27$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 27)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(54)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 58)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(12)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 24)$ sous le terme suivant dans le dividende $(24)$ .

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$9$	$- 9$	$- 58$	$4$	$24$
		$- 18$	$54$	$8$	$- 24$
	$9$	$- 27$	$- 4$	$12$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$9 x^{3} + - 27 x^{2} + (- 4) x + 12$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$9 x^{3} - 27 x^{2} - 4 x + 12$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) (9 x^{3} - 27 x^{2}) - 4 x + 12$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) + 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

$(x + 2) \cdot 9 x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 3) (9 x^{2} - 4)$

Étape 9

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 4)$

Étape 10

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 3) ({(3 x)}^{2} - 2^{2})$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) + (x - 3) ((3 x + 2) (3 x - 2))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) + (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

$(x + 2) (x - 3) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Étape 12

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1

Regroupez les termes.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.3

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.5

Factorisez.

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Étape 12.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 12.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Étape 12.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 12.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ et dont la somme est $b = - 58$ .

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Étape 12.8.1.1

Factorisez $- 58$ à partir de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Étape 12.8.1.2

Réécrivez $- 58$ comme $- 4$ plus $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Étape 12.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Étape 12.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 12.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Étape 12.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Étape 12.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Étape 12.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.10

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.13

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 12.13.1

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.13.2

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 12.14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 12.15

Factorisez $- u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 12.15.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 12.15.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Étape 12.16

Factorisez.

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Étape 12.16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 12.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 13

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 14

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 15

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 15.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 15.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 15.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 15.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 16

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 16.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 17

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 17.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 17.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 18

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Étape 19