Pré-calcul Exemples

$9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 3$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 \cdot 1 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 - 27 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.4

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$9 - 27 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 - 27 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.6

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

Étape 4.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 - 27 - 10 + 30 \cdot 1 + 1 - 3$

Étape 4.2.8

Multipliez $30$ par $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 + 1 - 3$

Étape 4.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $27$ de $9$ .

$- 18 - 10 + 30 + 1 - 3$

Étape 4.3.2

Soustrayez $10$ de $- 18$ .

$- 28 + 30 + 1 - 3$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 28$ et $30$ .

$2 + 1 - 3$

Étape 4.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 - 3$

Étape 4.3.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(9)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

	$9$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 27)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$	$- 18$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 18)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$	$- 28$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 28)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 28)$ sous le terme suivant dans le dividende $(30)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$	$0$

Étape 6.13

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$9 x^{4} + - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

Étape 6.14

Simplifiez le polynôme quotient.

$9 x^{4} - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$- 18 x^{3} + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 18 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 18 x^{3}$ .

$- 2 x (9 x^{2}) + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $2 x$ .

$- 2 x (9 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (9 x^{2}) - 2 x (- 1)$ .

$- 2 x (9 x^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez.

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Étape 7.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$- 2 x ((3 x + 1) (3 x - 1)) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.1.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Étape 7.1.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 7.1.8.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 u$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Étape 7.1.8.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $- 1$ plus $- 27$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Étape 7.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Étape 7.1.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Étape 7.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Étape 7.1.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 1$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 u - 1) (u - 3) = 0$

Étape 7.1.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.10

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.13

Factorisez $(3 x + 1) (3 x - 1)$ à partir de $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

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Étape 7.1.13.1

Factorisez $(3 x + 1) (3 x - 1)$ à partir de $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.13.2

Factorisez $(3 x + 1) (3 x - 1)$ à partir de $(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Étape 7.1.15

Factorisez $- 2 u + u^{2} - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.15.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.1.15.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 7.1.16

Factorisez.

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Étape 7.1.16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 7.1.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 7.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 7.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 7.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 7.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 7.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 1)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$ .

$x = 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

Étape 10