Pré-calcul Exemples

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Étape 4.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 2 - 1$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$1 - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(- 4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(- 4) x + 2$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$- 4 x + 2$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Étape 8.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 8.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 8.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Étape 8.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Étape 8.2.4

Réécrivez le polynôme.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 8.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.2.2

Divisez ${(2 x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez le $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12