Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(3)}^{4} - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 81 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $81$ .

$324 - 22 {(3)}^{3} + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$324 - 22 \cdot 27 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 22$ par $27$ .

$324 - 594 + 38 {(3)}^{2} - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$324 - 594 + 38 \cdot 9 - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.6

Multipliez $38$ par $9$ .

$324 - 594 + 342 - 44 \cdot 3 + 60$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 44$ par $3$ .

$324 - 594 + 342 - 132 + 60$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $594$ de $324$ .

$- 270 + 342 - 132 + 60$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 270$ et $342$ .

$72 - 132 + 60$

Étape 4.2.3

Soustrayez $132$ de $72$ .

$- 60 + 60$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 60$ et $60$ .

$0$

Étape 5

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60}{x - 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 22)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$
	$4$	$- 10$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 10)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 30)$ sous le terme suivant dans le dividende $(38)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$
	$4$	$- 10$	$8$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(24)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 20)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 60)$ sous le terme suivant dans le dividende $(60)$ .

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$4$	$- 22$	$38$	$- 44$	$60$
		$12$	$- 30$	$24$	$- 60$
	$4$	$- 10$	$8$	$- 20$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (8) x - 20$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x - 20$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 10 x^{2} + 8 x - 20)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 8 x - 20)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) - 20)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 5 x^{2})$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 10))$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 5 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10))$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) + 2 (- 10)$ .

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 10))$

Étape 8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 5 x^{2}) + 4 x - 10))$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$(x - 3) (2 ((2 x - 5) (x^{2} + 2)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (2 (2 x - 5) (x^{2} + 2))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4} - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 38 x^{2} - 44 x + 60 = 0$

Étape 10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $38 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) - 44 x + 60 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 60 = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Étape 10.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Étape 10.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (19 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (30) = 0$

Étape 10.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30) = 0$

Étape 10.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x) + 2 (30)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 19 x^{2} - 22 x + 30) = 0$

Étape 10.2

Regroupez les termes.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Étape 10.3

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x^{3} - 22 x$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Étape 10.3.3

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Étape 10.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 30) = 0$

Étape 10.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 u + 30) = 0$

Étape 10.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 30 = 60$ et dont la somme est $b = 19$ .

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Étape 10.6.1.1

Factorisez $19$ à partir de $19 u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 19 (u) + 30) = 0$

Étape 10.6.1.2

Réécrivez $19$ comme $4$ plus $15$

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 15) u + 30) = 0$

Étape 10.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Étape 10.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 15 u + 30) = 0$

Étape 10.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 15 (u + 2)) = 0$

Étape 10.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 2$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 15)) = 0$

Étape 10.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Étape 10.8

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $- 11 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

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Étape 10.8.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)) = 0$

Étape 10.8.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 15)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 15)) = 0$

Étape 10.9

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 u + 2 u^{2} + 15)) = 0$

Étape 10.10

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Étape 10.10.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 10.10.2.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 11 u + 15)) = 0$

Étape 10.10.2.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 5$ plus $- 6$

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15)) = 0$

Étape 10.10.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15)) = 0$

Étape 10.10.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.10.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 5 u) - 6 u + 15)) = 0$

Étape 10.10.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 ((x^{2} + 2) (u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5))) = 0$

Étape 10.10.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 5$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u - 5) (u - 3))) = 0$

Étape 10.11

Factorisez.

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Étape 10.11.1

Factorisez.

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Étape 10.11.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Étape 10.11.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Étape 10.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 12

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 12.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 12.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 13

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 14

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x^{2} + 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{5}{2}, 3$

Étape 16