Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 22$ par $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.6

Multipliez $36$ par $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 44$ par $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $176$ de $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 112$ et $144$ .

$32 - 88 + 56$

Étape 4.2.3

Soustrayez $88$ de $32$ .

$- 56 + 56$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 56$ et $56$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 28)$ sous le terme suivant dans le dividende $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 28)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 56)$ sous le terme suivant dans le dividende $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Étape 8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Étape 10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Étape 10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $36 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Étape 10.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Étape 10.1.5

Factorisez $2$ à partir de $56$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Étape 10.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Étape 10.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Étape 10.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Étape 10.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Étape 10.2

Regroupez les termes.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Étape 10.3

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x^{3} - 22 x$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Étape 10.3.3

Factorisez $- 11 x$ à partir de $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Étape 10.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Étape 10.4.2

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Étape 10.4.3

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Étape 10.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Étape 10.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Étape 10.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Étape 10.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Étape 10.7

Factorisez $u^{2} + 9 u + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $9$ .

$2, 7$

Étape 10.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Étape 10.8

Factorisez.

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Étape 10.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Étape 10.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Étape 10.9

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

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Étape 10.9.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Étape 10.9.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Étape 10.9.3

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Étape 10.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Étape 10.11

Multipliez $2$ par $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Étape 10.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Étape 10.13

Factorisez.

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Étape 10.13.1

Factorisez.

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Étape 10.13.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.13.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 10.13.1.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Étape 10.13.1.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 4$ plus $- 7$

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Étape 10.13.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Étape 10.13.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.13.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Étape 10.13.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Étape 10.13.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Étape 10.13.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Étape 10.13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Étape 12

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 12.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 12.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 12.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 12.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 12.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 13

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 14

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $2 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 7$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Étape 16