Pré-calcul Exemples

$| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$

Étape 1

Écrivez $| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$1 - 2 x \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x \geq - 1$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq - 1$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x \leq \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Dans la partie où $1 - 2 x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$1 - 2 x < \frac{1}{3}$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$1 - 2 x < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x < - 1$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - 1$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x > \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Dans la partie où $1 - 2 x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - (1 - 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 \cdot 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 + 2 x < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ quand $x \leq \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1

Résolvez $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1$

Étape 2.1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 x < \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 x < \frac{1 - 3}{3}$

Étape 2.1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 x < \frac{- 2}{3}$

Étape 2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 x < - \frac{2}{3}$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - \frac{2}{3}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x < - \frac{2}{3}$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x > - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$x > \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x > \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 2.1.2.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$x > \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $\frac{- 1}{3}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$x > \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x > \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.1.2.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x > \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x > \frac{1}{3}$ et $x \leq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} < x \leq \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ quand $x > \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x < \frac{1}{3} + 1$

Étape 3.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x < \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 3.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x < \frac{1 + 3}{3}$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 x < \frac{4}{3}$

Étape 3.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x < \frac{4}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x < \frac{4}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x < \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x < \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x < \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x < \frac{2}{3}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{2}{3}$ et $x > \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 6