Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 4, - 5$

Étape 7

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4, - 5$

$x = 3, - 3$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = - 4, - 5, 3, - 3$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - 9} > 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $0.2\overline{18}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4.5$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 4.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - 9} > 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 0.0\overline{2}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3.5$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $- 3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} + 9 (- 3.5) + 20}{{(- 3.5)}^{2} - 9} > 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $0.\overline{230769}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - 9} > 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $- 2.\overline{2}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 15.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 9 (6) + 20}{{(6)}^{2} - 9} > 0$

Étape 15.5.3

Le côté gauche $4.\overline{074}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $- 4 < x < - 3$ ou $x > 3$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (- 4, - 3) \cup (3, \infty)$

Étape 18