Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - x - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 7, 6$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 7, - 6$

Étape 7

Factorisez $x^{2} - 13 x + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 7, - 6$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 9

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 10

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 7, 6$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Étape 14

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

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Étape 14.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $x^{2} - 13 x + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 14.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 7, - 6$

Étape 14.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Étape 14.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 14.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 14.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 14.2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 14.2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 14.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 7, 6$

Étape 14.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Étape 16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 16.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Étape 16.1.3

Le côté gauche $0.\overline{142857}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 16.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Étape 16.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 16.3

Testez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6.5$

Étape 16.3.2

Remplacez $x$ par $6.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Étape 16.3.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 16.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 16.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Étape 16.4.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 16.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 6$ Faux

$6 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < 6$ Faux

$6 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Vrai

Étape 17

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 6$ ou $6 < x < 7$ ou $x > 7$

Étape 18

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 19