Pré-calcul Exemples

$x^{4} > 81 x^{2}$

Étape 1

Soustrayez $81 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{4} - 81 x^{2} > 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{4} - 81 x^{2} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 81 x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 81 x^{2} = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 81 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 81 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 81$ .

$x^{2} (x^{2} - 81) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$x^{2} ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 9) (x - 9) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 5

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 7

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x + 9) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, - 9, 9$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 12)}^{4} > 81 {(- 12)}^{2}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $20736$ est supérieur au côté droit $11664$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{4} > 81 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $256$ n’est pas supérieur au côté droit $1296$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{4} > 81 {(4)}^{2}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $256$ n’est pas supérieur au côté droit $1296$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

${(12)}^{4} > 81 {(12)}^{2}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $20736$ est supérieur au côté droit $11664$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < 0$ Faux

$0 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < 0$ Faux

$0 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 9$ ou $x > 9$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 9) \cup (9, \infty)$

Étape 13