Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 45 x^{2} + 324 < 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 45 u + 324 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez $u^{2} - 45 u + 324$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $324$ et dont la somme est $- 45$ .

$- 36, - 9$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 36) (u - 9) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 9 = 0$

Étape 4

Définissez $u - 36$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $u - 36$ égal à $0$ .

$u - 36 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 36$

Étape 5

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 36) (u - 9) = 0$ vraie.

$u = 36, 9$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 36$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 36$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 6$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6, - 6$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 9$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 12

La solution à $x^{4} - 45 x^{2} + 324 = 0$ est $x = 6, - 6, 3, - 3$ .

$x = 6, - 6, 3, - 3$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{4} - 45 {(- 8)}^{2} + 324 < 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $1540$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2} + 324 < 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 140$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{4} - 45 {(0)}^{2} + 324 < 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $324$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2} + 324 < 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $- 140$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{4} - 45 {(8)}^{2} + 324 < 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $1540$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 3$ Faux

$3 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 < x < - 3$ ou $3 < x < 6$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 6, - 3) \cup (3, 6)$

Étape 17