Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$x {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 54$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} + 9 (2) < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $50$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $- 3 < x < 0$

Étape 10

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$

Étape 11