Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 12 x + 3 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 12 x + 3 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 12$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $132$ comme $2^{2} \cdot 33$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $132$ comme $2^{2} \cdot 33$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 6 + \sqrt{33}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $12$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $132$ comme $2^{2} \cdot 33$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 6 - \sqrt{33}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 6 + \sqrt{33}, 6 - \sqrt{33}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 6 - \sqrt{33}$

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

$x > 6 + \sqrt{33}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 6 - \sqrt{33}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 6 - \sqrt{33}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 3 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6 + \sqrt{33}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6 + \sqrt{33}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 14$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $14$ dans l’inégalité d’origine.

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 + 3 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $31$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 6 - \sqrt{33}$ Faux

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Vrai

$x > 6 + \sqrt{33}$ Faux

$x < 6 - \sqrt{33}$ Faux

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Vrai

$x > 6 + \sqrt{33}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(6 - \sqrt{33}, 6 + \sqrt{33})$

Étape 12