Pré-calcul Exemples

$x^{2} (x + 2) (x - 4) < 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x + 2) (x - 4) < 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 4$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} ((- 4) + 2) ((- 4) - 4) < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $256$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 1)}^{2} ((- 1) + 2) ((- 1) - 4) < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} ((2) + 2) ((2) - 4) < 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 32$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} ((6) + 2) ((6) - 4) < 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $576$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < 0$ ou $0 < x < 4$

Étape 9

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 2, 0) \cup (0, 4)$

Étape 10