Pré-calcul Exemples

$p^{2} + 2000 p - 400000 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$p^{2} + 2000 p - 400000 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2000$ et $c = - 400000$ dans la formule quadratique et résolvez pour $p$ .

$\frac{- 2000 \pm \sqrt{2000^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 400000)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $2000$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $4000000$ et $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $5600000$ comme $400^{2} \cdot 35$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $160000$ à partir de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $160000$ comme $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $2000$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $4000000$ et $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $5600000$ comme $400^{2} \cdot 35$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $160000$ à partir de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $160000$ comme $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2000$ à la puissance $2$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 400000$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot - 400000}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 400000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{4000000 + 1600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4000000$ et $1600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{5600000}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $5600000$ comme $400^{2} \cdot 35$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $160000$ à partir de $5600000$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{160000 (35)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $160000$ comme $400^{2}$ .

$p = \frac{- 2000 \pm \sqrt{400^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$p = \frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2000 \pm 400 \sqrt{35}}{2}$ .

$p = - 1000 \pm 200 \sqrt{35}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$p = - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$p = - 1000 + 200 \sqrt{35}, - 1000 - 200 \sqrt{35}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = - 2186$

Étape 9.1.2

Remplacez $p$ par $- 2186$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2186)}^{2} + 2000 (- 2186) - 400000 < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $6596$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $p$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 2000 (0) - 400000 < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 400000$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$p = 186$

Étape 9.3.2

Remplacez $p$ par $186$ dans l’inégalité d’origine.

${(186)}^{2} + 2000 (186) - 400000 < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $6596$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Faux

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Vrai

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Faux

$p < - 1000 - 200 \sqrt{35}$ Faux

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Vrai

$p > - 1000 + 200 \sqrt{35}$ Faux

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1000 - 200 \sqrt{35} < p < - 1000 + 200 \sqrt{35}$

Étape 11

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1000 - 200 \sqrt{35}, - 1000 + 200 \sqrt{35})$

Étape 12