Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{x - 2} < \frac{2}{3 x - 9}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{3 x - 9}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x) - 9} < 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x + 3 \cdot - 3} < 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{3 (x - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) \cdot 3 (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{3 (x - 3)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (3 (x - 3))$ .

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

Étape 2.4.4

Réorganisez les facteurs de $3 (x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 3) - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 9 - 2 x - 2 \cdot - 2}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 x - 9 - 2 x + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6.5

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x - 9 + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 2.6.6

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 5$

$x = 2$

$x = 3$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 5, 2, 3$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 (x - 2) (x - 3) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 9.2.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 2) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 2, 3$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(0) - 2} < \frac{2}{3 (0) - 9}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $- 0.\overline{2}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(2.5) - 2} < \frac{2}{3 (2.5) - 9}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(4) - 2} < \frac{2}{3 (4) - 9}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.5$ est inférieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(8) - 2} < \frac{2}{3 (8) - 9}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.1\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Faux

$3 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2$ ou $3 < x < 5$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 2) \cup (3, 5)$

Étape 14