Pré-calcul Exemples

$6 x - 5 < \frac{6}{x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$(6 x - 5) x = \frac{6}{x} x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(6 x - 5) x$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x \cdot x - 5 x = \frac{6}{x} x$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$6 (x \cdot x) - 5 x = \frac{6}{x} x$

Étape 2.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 x^{2} - 5 x = 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $4$ plus $- 9$

$6 x^{2} + (4 - 9) x - 6 = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} + 4 x - 9 x - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} + 4 x) - 9 x - 6 = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3.5

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$

Étape 4

Déterminez le domaine de $6 x - 5 - \frac{6}{x}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (- 3) - 5 < \frac{6}{- 3}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 23$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.33$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.33$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (- 0.33) - 5 < \frac{6}{- 0.33}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $- 6.98$ n’est pas inférieur au côté droit $- 18.\overline{18}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (1) - 5 < \frac{6}{1}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (4) - 5 < \frac{6}{4}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $19$ n’est pas inférieur au côté droit $1.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

$x < - \frac{2}{3}$ Vrai

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{2}{3}$ ou $0 < x < \frac{3}{2}$

Étape 8

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, \frac{3}{2})$

Étape 9