Pré-calcul Exemples

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1

Simplifiez $4 x (x - 2)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Étape 2

Simplifiez $(2 x - 1) (x - 3)$ .

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Étape 2.1

Développez $(2 x - 1) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Étape 2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ de $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Étape 3.2

Ajoutez $7 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Étape 3.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Étape 3.4

Additionnez $- 8 x$ et $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - x = 3$

Étape 5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $96$ n’est pas inférieur au côté droit $63$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $32$ n’est pas inférieur au côté droit $7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Étape 15