Pré-calcul Exemples

$3 x^{2} - 5 x < 2 x^{2} + 14$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - 5 x - 2 x^{2} < 14$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x < 14$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 5 x = 14$

Étape 3

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 7, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 7, - 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 7$

$x > 7$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 < 2 {(- 4)}^{2} + 14$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $68$ n’est pas inférieur au côté droit $46$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 < 2 {(0)}^{2} + 14$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(10)}^{2} - 5 \cdot 10 < 2 {(10)}^{2} + 14$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $250$ n’est pas inférieur au côté droit $214$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < 7$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 2, 7)$

Étape 13