Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x}{16 - x^{2}} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x = 0$

$16 - x^{2} = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 16$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4, - 4$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$16 - x^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 16$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Étape 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 10.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 10.2.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 10.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 10.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 10.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 10.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 6)}{16 - {(- 6)}^{2}} < 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0.6$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2)}{16 - {(- 2)}^{2}} < 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (2)}{16 - {(2)}^{2}} < 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (6)}{16 - {(6)}^{2}} < 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 0.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 0$ ou $x > 4$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, 0) \cup (4, \infty)$

Étape 15