Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{x + 4} > \frac{1}{x - 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{x - 3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 4}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - (x + 4)}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x - 3 - x - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$\frac{- 7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4$

$x = 3$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - 4, 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 4) (x - 3) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.2

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.2.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8.2.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 4, 3$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(- 6) + 4} > \frac{1}{(- 6) - 3}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 0.5$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.\overline{1}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(0) + 4} > \frac{1}{(0) - 3}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0.25$ est supérieur au côté droit $- 0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(6) + 4} > \frac{1}{(6) - 3}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0.1$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 3$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 4, 3)$

Étape 13