Pré-calcul Exemples

$\frac{21}{x - 6} > \frac{18}{x - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{18}{x - 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{21}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{18}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{21}{x - 6}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{18}{x - 1}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 1) (x - 6)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 (x - 1) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $21 (x - 1) - 18 (x - 6)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 (x - 1)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 (x - 6)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))$ .

$\frac{3 (7 (x - 1) - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (7 x + 7 \cdot - 1 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $6 x$ de $7 x$ .

$\frac{3 (x - 7 + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $- 7$ et $36$ .

$\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 29 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4

Soustrayez $29$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 29$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 29$

$x = 1$

$x = 6$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = - 29, 1, 6$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x - 1) (x - 6) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 1, 6$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 29$

$- 29 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 29$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 29$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 32$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 32$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{21}{(- 32) - 6} > \frac{18}{(- 32) - 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.55263157$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.\overline{54}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 29 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 29 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{21}{(0) - 6} > \frac{18}{(0) - 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 3.5$ est supérieur au côté droit $- 18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{21}{(4) - 6} > \frac{18}{(4) - 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 10.5$ n’est pas supérieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{21}{(8) - 6} > \frac{18}{(8) - 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $10.5$ est supérieur au côté droit $2.\overline{571428}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 29$ Faux

$- 29 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < - 29$ Faux

$- 29 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 29 < x < 1$ ou $x > 6$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 29, 1) \cup (6, \infty)$

Étape 14