Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1

Simplifiez $\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.1.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2}) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.1.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{2 x}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.3

Pour écrire $- \frac{x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{2 x}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.4.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x \cdot 2 - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \cdot 2 - x \cdot 5$ .

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Étape 1.6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \cdot 2$ .

$\frac{x (2 \cdot 2) - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 5$ .

$\frac{x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{x (2 \cdot 2 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{x (4 - 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.1.4

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{x \cdot - 1}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 1.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 1 \cdot 2$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 2$

Étape 2.2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - x \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Étape 2.3

Associez $- x$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Étape 2.5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{3}{10} - 2$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3}{10} - 2$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - (\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{3}) - 2$

Étape 2.5.4

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - 2$

Étape 2.5.5

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1}$

Étape 2.5.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{30}{30}$

Étape 2.5.7

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.5.8

Multipliez $3$ par $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.5.9

Réorganisez les facteurs de $10 \cdot 3$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 10} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.5.10

Multipliez $3$ par $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{30} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - 3 x) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- x \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.7.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 2 \cdot 30}{30}$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 2$ par $30$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 60}{30}$

Étape 2.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.8.1

Soustrayez $60$ de $- 9$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 69}{30}$

Étape 2.8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 69}{30}$

Étape 2.8.3

Réécrivez $- 69$ comme $- 1 (69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 1 (69)}{30}$

Étape 2.8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 x) - 1 (69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x + 69)}{30}$

Étape 2.8.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.5.1

Réécrivez $- (10 x + 69)$ comme $- 1 (10 x + 69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 1 (10 x + 69)}{30}$

Étape 2.8.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < - \frac{10 x + 69}{30}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{10 x + 69}{30}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} + \frac{10 x + 69}{30} < 0$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{x}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} \cdot \frac{3}{3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $30$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{x}{10}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $10$ par $3$ .

$- \frac{x \cdot 3}{30} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x \cdot 3 + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 x + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $- 3 x$ et $10 x$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Étape 3.6

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{15} < 0$

Étape 3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $30$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15} < 0$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{30} < 0$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x + 69 + 3 \cdot 15}{30} < 0$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{7 x + 69 + 45}{30} < 0$

Étape 3.9.2

Additionnez $69$ et $45$ .

$\frac{7 x + 114}{30} < 0$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $30$ .

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 x + 114 < 0 \cdot 30$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Multipliez $0$ par $30$ .

$7 x + 114 < 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $114$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 x < - 114$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $7 x < - 114$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x < - 114$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 114}{7}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - \frac{114}{7}$

Étape 7

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{114}{7})$

Étape 8