Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

Étape 2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

Étape 4

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 x$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (16 x)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $16$ comme $- 2$ plus $18$

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 2$ .

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 7

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 8

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{3}, - 6$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $52$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 12$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 3$ est supérieur au côté droit $- 66$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Faux

$x > \frac{2}{3}$ Vrai

$x < - 6$ Vrai

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Faux

$x > \frac{2}{3}$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 6$ ou $x > \frac{2}{3}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Étape 14