Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{x} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 1, - 1$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, 1, - 1$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{- 4} < 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 3.75$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} - 1}{- 0.5} < 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $1.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0.5)}^{2} - 1}{0.5} < 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 1.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} < 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $3.75$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $0 < x < 1$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

Étape 13