Pré-calcul Exemples

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Étape 1

Écrivez $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $57$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $45$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Faux

$x > \frac{3}{2}$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Faux

$x > \frac{3}{2}$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 5$ ou $x \geq \frac{3}{2}$

Étape 1.3

Dans la partie où $2 x^{2} + 7 x - 15$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Étape 1.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Étape 1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Étape 1.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Étape 1.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 1.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 1.5.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 1.5.4.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 1.5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 1.5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 1.5.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 1.5.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 1.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Étape 1.5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 1.5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 1.5.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Étape 1.5.8.1.3

Le côté gauche $57$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.5.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Étape 1.5.8.2.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.5.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Étape 1.5.8.3.3

Le côté gauche $45$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

Étape 1.5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Étape 1.6

Dans la partie où $2 x^{2} + 7 x - 15$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Étape 1.8.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ quand $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Étape 2.1.1.2

Soustrayez $10$ de $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Étape 2.1.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Étape 2.1.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.1.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 7$ et $c = - 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.1.3

Additionnez $49$ et $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.6.1.3

Additionnez $49$ et $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.6.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Étape 2.1.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Étape 2.1.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.7.1.3

Additionnez $49$ et $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.7.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Étape 2.1.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Étape 2.1.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.8

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 2.1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Étape 2.1.10.1.3

Le côté gauche $57$ n’est pas inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.1.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Étape 2.1.10.2.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.1.10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Étape 2.1.10.3.3

Le côté gauche $70$ n’est pas inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Faux

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Vrai

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Faux

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Faux

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Vrai

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Faux

Étape 2.1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ et $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ ou $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 3

Résolvez $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ quand $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $10$ de $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Étape 3.1.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Étape 3.1.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.1.4

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 7$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.5.1.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.5.1.3

Additionnez $49$ et $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Étape 3.1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.1.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.6.1.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.6.1.3

Additionnez $49$ et $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Étape 3.1.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.1.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.7.1.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.7.1.3

Additionnez $49$ et $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Étape 3.1.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.8

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 7$

Étape 3.1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 7$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Étape 3.1.10.1.3

Le côté gauche $- 34$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.1.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Étape 3.1.10.2.3

Le côté gauche $15$ n’est pas inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 3.1.10.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Étape 3.1.10.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Vrai

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Faux

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Vrai

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Vrai

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Faux

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Vrai

Étape 3.1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ et $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ ou $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Étape 6