Pré-calcul Exemples

$| 3 x^{2} - 7 x + 2 | > 100$

Étape 1

Écrivez $| 3 x^{2} - 7 x + 2 | > 100$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$3 x^{2} - 7 x + 2 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2 \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $22$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < \frac{1}{3}$ Vrai

$\frac{1}{3} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{1}{3}$ ou $x \geq 2$

Étape 1.3

Dans la partie où $3 x^{2} - 7 x + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$3 x^{2} - 7 x + 2 > 100$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$3 x^{2} - 7 x + 2 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2 = 0$

Étape 1.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2 = 0$

Étape 1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2 = 0$

Étape 1.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1) = 0$

Étape 1.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 1.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.5.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 1.5.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 1.5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 1.5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 1.5.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.5.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Étape 1.5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Étape 1.5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.5.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 2 < 0$

Étape 1.5.8.1.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{3} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 1.5.8.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2 < 0$

Étape 1.5.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.5.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 + 2 < 0$

Étape 1.5.8.3.3

Le côté gauche $22$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < \frac{1}{3}$ Faux

$\frac{1}{3} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 1.5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{3} < x < 2$

Étape 1.6

Dans la partie où $3 x^{2} - 7 x + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) > 100$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 3 x^{2} - 7 x + 2 > 100 & x \leq \frac{1}{3} or x \geq 2 \\ - (3 x^{2} - 7 x + 2) > 100 & \frac{1}{3} < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (3 x^{2} - 7 x + 2) > 100$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 3 x^{2} - 7 x + 2 > 100 & x \leq \frac{1}{3} or x \geq 2 \\ - (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 > 100 & \frac{1}{3} < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x^{2} - 7 x + 2 > 100 & x \leq \frac{1}{3} or x \geq 2 \\ - 3 x^{2} - (- 7 x) - 1 \cdot 2 > 100 & \frac{1}{3} < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x^{2} - 7 x + 2 > 100 & x \leq \frac{1}{3} or x \geq 2 \\ - 3 x^{2} + 7 x - 1 \cdot 2 > 100 & \frac{1}{3} < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} 3 x^{2} - 7 x + 2 > 100 & x \leq \frac{1}{3} or x \geq 2 \\ - 3 x^{2} + 7 x - 2 > 100 & \frac{1}{3} < x < 2 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $3 x^{2} - 7 x + 2 > 100$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 100$

Étape 2.2

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 7 x + 2 - 100 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $100$ de $2$ .

$3 x^{2} - 7 x - 98 = 0$

Étape 2.4

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 98 = - 294$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 98 = 0$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $14$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (14 - 21) x - 98 = 0$

Étape 2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 14 x - 21 x - 98 = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 14 x) - 21 x - 98 = 0$

Étape 2.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 14) - 7 (3 x + 14) = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 14$ .

$(3 x + 14) (x - 7) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 14 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 2.6

Définissez $3 x + 14$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $3 x + 14$ égal à $0$ .

$3 x + 14 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $3 x + 14 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 14$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 14$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 14$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 14}{3}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 14}{3}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 14}{3}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{14}{3}$

Étape 2.7

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 14) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - \frac{14}{3}, 7$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{14}{3}$

$- \frac{14}{3} < x < 7$

$x > 7$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{14}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{14}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 7$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 7$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 2 > 100$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $198$ est supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{14}{3} < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{14}{3} < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 2 > 100$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 2.10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(10)}^{2} - 7 \cdot 10 + 2 > 100$

Étape 2.10.3.3

Le côté gauche $232$ est supérieur au côté droit $100$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{14}{3}$ Vrai

$- \frac{14}{3} < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

$x < - \frac{14}{3}$ Vrai

$- \frac{14}{3} < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{14}{3}$ ou $x > 7$

Étape 3

Résolvez $- 3 x^{2} + 7 x - 2 > 100$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 - 100 > 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $100$ de $- 2$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 102 > 0$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 3 x^{2} + 7 x - 102 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 7$ et $c = - 102$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 102)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 102$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 102$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 1224}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $1224$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 1175$ comme $- 1 (1175)$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1175)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $1175$ comme $5^{2} \cdot 47$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $1175$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$ .

$x = \frac{7 \pm 5 i \sqrt{47}}{6}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 102$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 102$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 1224}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.3

Soustrayez $1224$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $- 1175$ comme $- 1 (1175)$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1175)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.7

Réécrivez $1175$ comme $5^{2} \cdot 47$ .

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Étape 3.6.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $1175$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$ .

$x = \frac{7 \pm 5 i \sqrt{47}}{6}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{7 + 5 i \sqrt{47}}{6}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 102$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12 \cdot - 102}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 102$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 1224}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $1224$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $- 1175$ comme $- 1 (1175)$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1175)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.7

Réécrivez $1175$ comme $5^{2} \cdot 47$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $1175$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 7 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm 5 i \sqrt{47}}{- 6}$ .

$x = \frac{7 \pm 5 i \sqrt{47}}{6}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{7 - 5 i \sqrt{47}}{6}$

Étape 3.8

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.8.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$- 3 x^{2}$

Étape 3.8.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$- 3$

Étape 3.9

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est négatif, le parabole ouvre vers le bas et $- 3 x^{2} + 7 x - 2$ est toujours inférieur à $0$ .

Aucune solution

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x < - \frac{14}{3}$ ou $x > 7$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - \frac{14}{3}) \cup (7, \infty)$

Étape 6