Pré-calcul Exemples

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

Étape 1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ par $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 x}{2}$ dans le numérateur.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 7 x - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

Étape 4.1.3

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (7 x)$ .

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ .

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 2) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 5$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > - 2$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

Étape 13