Pré-calcul Exemples

$f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Étape 1

Écrivez $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ comme une équation.

$y = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = 26 \cdot e^{0.5 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ .

$26 \cdot e^{0.5 y} = t$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ par $26$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ par $26$ .

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $e^{0.5 y}$ par $1$ .

$e^{0.5 y} = \frac{t}{26}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{0.5 y}) = \ln (\frac{t}{26})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{0.5 y})$ en déplaçant $0.5 y$ hors du logarithme.

$0.5 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{26})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$0.5 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{26})$

Étape 3.4.3

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ par $0.5$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ par $0.5$ .

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $0.5$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5 (1)}$

Étape 3.5.3.3

Séparez les fractions.

$y = \frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Étape 3.5.3.4

Divisez $1$ par $0.5$ .

$y = 2 \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Étape 3.5.3.5

Divisez $\ln (\frac{t}{26})$ par $1$ .

$y = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ est l’inverse de $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (t))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Étape 5.2.3.2

Divisez $e^{0.5 t}$ par $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (e^{0.5 t})$

Étape 5.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $0.5 t$ de l’exposant.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \ln (e))$

Étape 5.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \cdot 1)$

Étape 5.2.6

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t)$

Étape 5.2.7

Multipliez $2 (0.5 t)$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $0.5$ par $2$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 1 t$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = t$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (t))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2 \ln (\frac{t}{26}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 (2 \ln (\frac{t}{26}))}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $2 \ln (\frac{t}{26})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})$ en déplaçant $0.5$ dans le logarithme.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{\ln ({({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5})}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$

Étape 5.3.6

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$ .

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Étape 5.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {(\frac{t}{26})}^{2 \cdot 0.5}$

Étape 5.3.6.2

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot (\frac{t}{26})$

Étape 5.3.7

Simplifiez

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = t$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (t)) = t$ et $f (f^{- 1} (t)) = t$ , $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ est l’inverse de $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$