Pré-calcul Exemples

$f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ comme une équation.

$y = 2 {(n - 2)}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$n = 2 {(y - 2)}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 {(y - 2)}^{3} = n$ .

$2 {(y - 2)}^{3} = n$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 {(y - 2)}^{3} = n$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 {(y - 2)}^{3} = n$ par $2$ .

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${(y - 2)}^{3}$ par $1$ .

${(y - 2)}^{3} = \frac{n}{2}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 2 = \sqrt[3]{\frac{n}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.4.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$

Étape 3.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$

Étape 3.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (n)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ est l’inverse de $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (n)) = n$ et $f (f^{- 1} (n)) = n$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (n))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (n))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 {(n - 2)}^{3})}}{2} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 {(n - 2)}^{3}}}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $8 {(n - 2)}^{3}$ comme ${(2 (n - 2))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 (n - 2))}^{3}}}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n - 4}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 n - 4$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 n$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n) - 4}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 n + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $n - 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $n - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (n))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (n))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {((\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2)}^{3}$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2})}^{3}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 n}}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 n}}^{3}$ comme $4 n$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 n}$ comme ${(4 n)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{({(4 n)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Étape 5.3.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{8})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 (4)})$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 \cdot 4})$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $n$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = n$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (n)) = n$ et $f (f^{- 1} (n)) = n$ , $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ est l’inverse de $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$