Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ comme une équation.

$y = {(2 x + 5)}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(2 y + 5)}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(2 y + 5)}^{3} = x$ .

${(2 y + 5)}^{3} = x$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$2 y + 5 = \sqrt[3]{x}$

Étape 3.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \sqrt[3]{x} - 5$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}} - 5}{2}$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $2 x + 5 - 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} - 5 + 5)}^{3}$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{x} - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $\sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.3.4.2.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ est l’inverse de $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$