Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ comme une équation.

$y = {(x^{5} + 1)}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(y^{5} + 1)}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(y^{5} + 1)}^{3} = x$ .

${(y^{5} + 1)}^{3} = x$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y^{5} + 1 = \sqrt[3]{x}$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{5} = \sqrt[3]{x} - 1$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ est l’inverse de $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 1 - 1}$

Étape 5.2.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Étape 5.2.6

Additionnez $x^{5}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Étape 5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})}^{5} + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}}^{5}$ comme $\sqrt[3]{x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ comme ${(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {((\sqrt[3]{x} - 1) + 1)}^{3}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} - 1 + 1)}^{3}$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{x} - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $\sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

Étape 5.3.4.2.5

Simplifiez

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ est l’inverse de $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$