Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$7 y^{2}, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$7 y^{2}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ par $7 y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ par $7 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} (7 y^{2}) = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y^{2}$ .

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 (y^{2})} y^{2} = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - 6 = x (7 y^{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} - 6 = 7 x y^{2}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $7 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 6 - 7 x y^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 7 x y^{2} = 6$

Étape 3.4.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} - 7 x y^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1

Multipliez par $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - 7 x y^{2} = 6$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 7 x y^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x) = 6$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x)$ .

$y^{2} (1 - 7 x) = 6$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ par $1 - 7 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ par $1 - 7 x$ .

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 7 x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ .

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Étape 3.4.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ comme $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ par $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Étape 3.4.6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.6.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ par $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x} \sqrt{1 - 7 x}}$

Étape 3.4.6.3.2

Élevez $\sqrt{1 - 7 x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} \sqrt{1 - 7 x}}$

Étape 3.4.6.3.3

Élevez $\sqrt{1 - 7 x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} {\sqrt{1 - 7 x}}^{1}}$

Étape 3.4.6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{2}}$

Étape 3.4.6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 - 7 x}}^{2}$ comme $1 - 7 x$ .

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Étape 3.4.6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 7 x}$ comme ${(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{({(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{1}}$

Étape 3.4.6.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.6.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 3.4.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 (1 - 7 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 (1 - 7 x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (1 - 7 x) \geq 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (1 - 7 x) \geq 0$ par $6$ .

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $1 - 7 x$ par $1$ .

$1 - 7 x \geq \frac{0}{6}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$1 - 7 x \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 7 x \geq - 1$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 7 x \geq - 1$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x \geq - 1$ par $- 7$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x \leq \frac{1}{7}$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - 7 x = 0$

Étape 5.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 x = - 1$

Étape 5.3.4.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 1$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 1$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 7}$

Étape 5.3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{7}$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = 0$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{2} = 0$ par $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{7}$

Étape 5.4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $7$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ est le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Étape 6