Pré-calcul Exemples

$3 x^{5} - 13 x^{4} + 13 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 3 x^{5} - 13 x^{4} + 13 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$

Étape 2

Comme il y a $4$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $4$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(4 - 2)$ .

Racines positives : $4$ , $2$ , or $0$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{5} - 13 {(- x)}^{4} + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 13 {(- x)}^{4} + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = 3 (- x^{5}) - 13 {(- x)}^{4} + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 {(- x)}^{4} + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 (1 x^{4}) + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.6

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 13 {(- x)}^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 13 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 13 (- x^{3}) + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} - 13 x^{3} + 9 {(- x)}^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} - 13 x^{3} + 9 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 16 (- x) + 4$

Étape 4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} - 13 x^{3} + 9 (1 x^{2}) - 16 (- x) + 4$

Étape 4.12

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} - 13 x^{3} + 9 x^{2} - 16 (- x) + 4$

Étape 4.13

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f (- x) = - 3 x^{5} - 13 x^{4} - 13 x^{3} + 9 x^{2} + 16 x + 4$

Étape 5

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine négative (règle des signes de Descartes).

Racines négatives : $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $4$ , $2$ , or $0$ , et le nombre possible de racines négatives est $1$ .

Racines positives : $4$ , $2$ , or $0$

Racines négatives : $1$