Pré-calcul Exemples

$4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = 4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Étape 2

Comme il y a $5$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $5$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(5 - 2)$ .

Racines positives : $5$ , $3$ , or $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{10} x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $10$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.3

Multipliez $x^{10}$ par $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 ({(- 1)}^{9} x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $9$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 (- x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 ({(- 1)}^{8} x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $8$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 (1 x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.9

Multipliez $x^{8}$ par $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 ({(- 1)}^{7} x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 (- x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.12

Multipliez $- 1$ par $127$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.13

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 ({(- 1)}^{6} x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 (1 x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.15

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 (- x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.18

Multipliez $- 1$ par $- 533$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.20

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 (1 x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.21

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.22

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.23

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 (- x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.24

Multipliez $- 1$ par $- 487$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.25

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Étape 4.26

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 (1 x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Étape 4.27

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 (- x) - 108$

Étape 4.28

Multipliez $- 1$ par $153$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} - 153 x - 108$

Étape 5

Comme il y a $5$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $5$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $5 - 2$ ).

Racines négatives : $5$ , $3$ , or $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $5$ , $3$ , or $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $5$ , $3$ , or $1$ .

Racines positives : $5$ , $3$ , or $1$

Racines négatives : $5$ , $3$ , or $1$