Pré-calcul Exemples

$\cos (\frac{5 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{12})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 1.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.2

Additionnez $\sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.3

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} + 0}{4}$

Étape 2.4

Additionnez $2 \sqrt{6}$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{4}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{4}$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Forme décimale :

$1.22474487 \dots$