Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(2)}^{3} + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$8 + 2^{1} {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 + 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$8 + 2^{3} - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 8 - 4 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 + 8 - 8 - 8$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $8$ et $8$ .

$16 - 8 - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Étape 4.2.3

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$	$4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 4 x + 4$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 4 x + 4$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} + 4 x + 2^{2}$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x + 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Étape 8.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 8.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 8.4

Factorisez.

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Étape 8.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 8.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 8.5

Associez les exposants.

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Étape 8.5.1

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 8.5.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 8.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Étape 8.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 10

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 13