Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 343$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 7)}^{3} + 343$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 7$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$- 343 + 343$

Étape 4.2

Additionnez $- 343$ et $343$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 7$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 7$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 343}{x + 7}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$49$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(49)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 343)$ sous le terme suivant dans le dividende $(343)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$	$49$	$- 343$
	$1$	$- 7$	$49$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$0$	$343$
		$- 7$	$49$	$- 343$
	$1$	$- 7$	$49$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + - 7 x + 49$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 7 x + 49$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 7$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.3

Soustrayez $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $196$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 7) (x - \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}) (x - \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} + 343$ .

$x = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10