Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{4} + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 10 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4.1.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$1 + 10 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 10 - 15 \cdot 1 - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 \cdot 1 + 44$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 40$ par $1$ .

$1 + 10 - 15 - 40 + 44$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $10$ .

$11 - 15 - 40 + 44$

Étape 4.2.2

Soustrayez $15$ de $11$ .

$- 4 - 40 + 44$

Étape 4.2.3

Soustrayez $40$ de $- 4$ .

$- 44 + 44$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 44$ et $44$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(10)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$	$11$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(11)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 15)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 40)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 44)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 44)$ sous le terme suivant dans le dividende $(44)$ .

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (- 4) x - 44$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 11 x^{2} - 4 x - 44$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (x^{3} + 11 x^{2}) - 4 x - 44$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

$(x - 1) x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 11$ .

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 4)$

Étape 9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 2^{2})$

Étape 10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) + (x + 11) ((x + 2) (x - 2))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) + (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Regroupez les termes.

$10 x^{3} - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} - 40 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 40 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 4)$ .

$10 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$10 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 44 = 0$

Étape 11.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 15 u + 44 = 0$

Étape 11.7

Factorisez $u^{2} - 15 u + 44$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $44$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 11, - 4$

Étape 11.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (u - 11) (u - 4) = 0$

Étape 11.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 11.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 11.10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 11.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 11.11

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.11.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $10 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 11.11.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11) = 0$

Étape 11.11.3

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Étape 11.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 2) (x - 2) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Étape 11.13

Factorisez $10 u + u^{2} - 11$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 11$ et dont la somme est $10$ .

$- 1, 11$

Étape 11.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Étape 11.14

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Étape 11.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 13

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 14

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 15

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 15.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 16

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 16.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 17

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 1, - 11$

Étape 18