Pré-calcul Exemples

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 42$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 42)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x^{2} - 42 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 42 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Étape 7.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Étape 7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ .

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} + x - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $1$ .

$- 6, 7$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Étape 9.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Étape 9.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 42 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Étape 9.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ .

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Étape 9.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ .

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Étape 9.2

Factorisez.

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Étape 9.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 42$ et dont la somme est $1$ .

$- 6, 7$

Étape 9.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 11.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 11.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 11.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 12

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 13

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, - 7$

Étape 15