Pré-calcul Exemples

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{2}} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 23 (\frac{1}{2}) + 12$

Étape 4.1.10

Associez $- 23$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 23}{2} + 12$

Étape 4.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{23}{2} + 12$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 + \frac{1 - 3}{4} + \frac{- 23}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$12 + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{12}{1} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{- 23}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 23}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{- 23 \cdot 2}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 \cdot 4 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{48 - 2 - 23 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 23$ par $2$ .

$\frac{48 - 2 - 46}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $2$ de $48$ .

$\frac{46 - 46}{4}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $46$ de $46$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.6.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$
	$2$	$- 2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 23)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 24)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(12)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 23$	$12$
		$1$	$- 1$	$- 12$
	$2$	$- 2$	$- 24$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + - 2 x - 24$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} - 2 x - 24$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x - 24$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) - 2 x - 24)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) - 24)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 12))$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x) + 2 (- 12))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 12)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} - x - 12))$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x + 3)))$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x + 3))$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 9.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 9.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 9.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 9.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $0.25$ .

$0.25 - 0.75 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.6

Soustrayez $0.75$ de $0.25$ .

$- 0.5 - 23 \cdot 0.5 + 12$

Étape 9.1.3.7

Multipliez $- 23$ par $0.5$ .

$- 0.5 - 11.5 + 12$

Étape 9.1.3.8

Soustrayez $11.5$ de $- 0.5$ .

$- 12 + 12$

Étape 9.1.3.9

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 9.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12}{2 x - 1}$

Étape 9.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ par $2 x - 1$ .

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Étape 9.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$23 x$

$12$

Étape 9.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$

Étape 9.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 9.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 9.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 9.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Étape 9.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$

Étape 9.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 9.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 9.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$

Étape 9.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Étape 9.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$

Étape 9.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	+	$12$

Étape 9.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 x + 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$

Étape 9.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$12$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$23 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$23 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	-	$12$
										$0$

Étape 9.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 12$

Étape 9.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 23 x + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{2} - x - 12) = 0$

Étape 9.2

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 9.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 4, - 3$

Étape 15