Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 6$ et $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.4

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.4.5

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.5

Soustrayez $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.8

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.6.9

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ comme $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4.4

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4.5

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.8

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.9

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ comme $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Étape 4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.4

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4.5

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $40$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 z^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $32 z$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.8

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6.9

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ comme $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ .

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Étape 5.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Étape 7