Pré-calcul Exemples

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $13$ par $1$ .

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.4

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $12$ de $13$ .

$1 - 27 + 24 + 2$

Étape 4.2.2

Soustrayez $27$ de $1$ .

$- 26 + 24 + 2$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 26$ et $24$ .

$- 2 + 2$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(13)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 13)$ sous le terme suivant dans le dividende $(12)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 27)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 26)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(26)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 24)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $13 x - 1$ .

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Étape 9.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ et dont la somme est $b = - 27$ .

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Étape 9.5.1.1

Factorisez $- 27$ à partir de $- 27 u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

Étape 9.5.1.2

Réécrivez $- 27$ comme $- 1$ plus $- 26$

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

Étape 9.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Étape 9.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

Étape 9.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

Étape 9.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $13 u - 1$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

Étape 9.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

Étape 9.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ et dont la somme est $b = 12$ .

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Étape 9.9.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 u$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

Étape 9.9.2.2

Réécrivez $12$ comme $- 1$ plus $13$

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

Étape 9.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

Étape 9.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

Étape 9.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

Étape 9.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $13 u - 1$ .

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 12

Définissez $13 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $13 x - 1$ égal à $0$ .

$13 x - 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $13 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$13 x = 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $13 x = 1$ par $13$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $13 x = 1$ par $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{13}$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

Forme décimale :

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

Étape 16