Pré-calcul Exemples

$3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$3 {(4)}^{4} - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 256 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $256$ .

$768 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$768 - 11 \cdot 64 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 11$ par $64$ .

$768 - 704 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$768 - 704 - 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$768 - 704 - 48 - 6 \cdot 4 + 8$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$768 - 704 - 48 - 24 + 8$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $704$ de $768$ .

$64 - 48 - 24 + 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $48$ de $64$ .

$16 - 24 + 8$

Étape 4.2.3

Soustrayez $24$ de $16$ .

$- 8 + 8$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8}{x - 4}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 6)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(- 8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x - 2$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Étape 7.1.3

Remplacez $0.\overline{6}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{6}$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $0.\overline{6}$ dans le polynôme.

$3 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Étape 7.1.3.2

Élevez $0.\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{296} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $3$ par $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{8} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Étape 7.1.3.4

Élevez $0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{8} + 0.\overline{4} + 0.\overline{6} - 2$

Étape 7.1.3.5

Additionnez $0.\overline{8}$ et $0.\overline{4}$ .

$1.\overline{3} + 0.\overline{6} - 2$

Étape 7.1.3.6

Additionnez $1.\overline{3}$ et $0.\overline{6}$ .

$2 - 2$

Étape 7.1.3.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $0.\overline{6}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + x - 2}{3 x - 2}$

Étape 7.1.5

Divisez $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ par $3 x - 2$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							+	$3 x$	-	$2$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x + 1$

Étape 7.1.6

Écrivez $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 7.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 7.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 7.4.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 4) (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ .

$x = 4, \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 10