Pré-calcul Exemples

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.8

Associez $- 13$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.13.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.14

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

Étape 4.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

Étape 4.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

Étape 4.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $13$ de $1$ .

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.4

Écrivez $- 32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $32$ par $8$ .

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 32$ par $8$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

Étape 4.5.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $256$ de $256$ .

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$\frac{- 12 + 12}{8}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 4.6.4

Divisez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 13)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 12)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(64)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(64)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(32)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 32)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Regroupez les termes.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.2

Factorisez $32$ à partir de $64 x - 32$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $32$ à partir de $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez $32$ à partir de $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.2.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Étape 8.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Étape 8.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Étape 8.3.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Étape 8.4

Factorisez.

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Étape 8.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 1$ plus $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Étape 8.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Étape 8.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Étape 8.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Étape 8.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Étape 8.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Étape 8.5

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Étape 8.5.2

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Étape 8.5.3

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Étape 8.6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Étape 8.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Étape 8.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Étape 8.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Étape 8.8

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Étape 8.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Étape 8.10

Factorisez.

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Étape 8.10.1

Réécrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ en forme factorisée.

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Étape 8.10.1.1

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.10.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 8.10.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Étape 8.10.1.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.10.1.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 8.10.1.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 8.10.1.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Étape 8.10.1.1.3.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Étape 8.10.1.1.3.5

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$- 32 + 32$

Étape 8.10.1.1.3.6

Additionnez $- 32$ et $32$ .

$0$

Étape 8.10.1.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Étape 8.10.1.1.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ par $x + 2$ .

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Étape 8.10.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Étape 8.10.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Étape 8.10.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 8.10.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 8.10.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 8.10.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.10.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.10.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 8.10.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 8.10.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Étape 8.10.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 8.10.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 8.10.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Étape 8.10.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Étape 8.10.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Étape 8.10.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 8 x + 16$

Étape 8.10.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Étape 8.10.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.10.1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 8.10.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 8.10.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 8.10.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 8.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 10

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 12

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Étape 14