Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(2)}^{4} - 2 {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) - 8$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 2 {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) - 8$

Étape 4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 2 \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) - 8$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$16 - 16 - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) - 8$

Étape 4.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 16 - 2 \cdot 4 + 8 (2) - 8$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$16 - 16 - 8 + 8 (2) - 8$

Étape 4.1.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 - 16 - 8 + 16 - 8$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0 - 8 + 16 - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8 + 16 - 8$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$8 - 8$

Étape 4.2.4

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 8}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$
	$1$	$0$	$- 2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$	$- 4$
	$1$	$0$	$- 2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$	$- 4$
	$1$	$0$	$- 2$	$4$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(8)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$	$- 4$	$8$
	$1$	$0$	$- 2$	$4$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$1$	$- 2$	$- 2$	$8$	$- 8$
		$2$	$0$	$- 4$	$8$
	$1$	$0$	$- 2$	$4$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 2) x + 4$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 2 x + 4$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $x^{3} - 2 x + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 7.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - 2 \cdot - 2 + 4$

Étape 7.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 2 \cdot - 2 + 4$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 8 + 4 + 4$

Étape 7.1.3.4

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 + 4$

Étape 7.1.3.5

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x + 4}{x + 2}$

Étape 7.1.5

Divisez $x^{3} - 2 x + 4$ par $x + 2$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	+	$4$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 4$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	-	$4$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	-	$4$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x + 2$

Étape 7.1.6

Écrivez $x^{3} - 2 x + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} - 2 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 7.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 7.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i, 1 - i$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1 + i, 1 - i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 2) (x + 2) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

$x = 2, - 2, 1 + i, 1 - i$

Étape 10