Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - 15 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 24$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 15 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 24$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 15 \cdot 1 + 10 (- 1) + 24$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$1 - 15 + 10 (- 1) + 24$

Étape 4.1.4

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$1 - 15 - 10 + 24$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $15$ de $1$ .

$- 14 - 10 + 24$

Étape 4.2.2

Soustrayez $10$ de $- 14$ .

$- 24 + 24$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$
	$1$	$- 1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 15)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$	$- 14$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(10)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$
	$1$	$- 1$	$- 14$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(24)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 24)$ sous le terme suivant dans le dividende $(24)$ .

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$	$- 24$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$0$	$- 15$	$10$	$24$
		$- 1$	$1$	$14$	$- 24$
	$1$	$- 1$	$- 14$	$24$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 14) x + 24$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Factorisez $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 2^{2} - 14 \cdot 2 + 24$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 2^{2} - 14 \cdot 2 + 24$

Étape 7.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 24$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$8 - 4 - 14 \cdot 2 + 24$

Étape 7.1.1.3.5

Soustrayez $4$ de $8$ .

$4 - 14 \cdot 2 + 24$

Étape 7.1.1.3.6

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$4 - 28 + 24$

Étape 7.1.1.3.7

Soustrayez $28$ de $4$ .

$- 24 + 24$

Étape 7.1.1.3.8

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 14 x + 24}{x - 2}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$14 x$

$24$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x + 24$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$14 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$14 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 12$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $x^{3} - x^{2} - 14 x + 24$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, 3, - 4$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 1) (x - 2) (x - 3) (x + 4)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$ .

$x = - 1, 2, 3, - 4$

Étape 10