Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Étape 4.2.2

Soustrayez $14$ de $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Étape 4.2.3

Soustrayez $36$ de $- 9$ .

$- 45 + 45$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 45$ et $45$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 45)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 45)$ sous le terme suivant dans le dividende $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Étape 9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Regroupez les termes.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.4

Factorisez.

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Étape 11.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Étape 11.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Étape 11.7

Factorisez $u^{2} - 14 u + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 9, - 5$

Étape 11.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Étape 11.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Étape 11.9

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Étape 11.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Étape 11.11

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

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Étape 11.11.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Étape 11.11.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Étape 11.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Étape 11.13

Factorisez $4 u + u^{2} - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 11.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 11.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Étape 11.14

Factorisez.

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Étape 11.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Étape 11.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 13

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 14

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 15

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 15.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 16

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 16.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 17

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Étape 18