Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{4} - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x + 1$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + x^{2} + x + 1$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2}) + x + 1$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

Étape 9

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 1$

Étape 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Étape 11

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 12

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 12.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 13