Pré-calcul Exemples

$x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$81 + 6 {(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Étape 4.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$81 + 6 \cdot - 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Étape 4.1.3

Multipliez $6$ par $- 27$ .

$81 - 162 + 11 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 18$

Étape 4.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$81 - 162 + 11 \cdot 9 + 12 (- 3) + 18$

Étape 4.1.5

Multipliez $11$ par $9$ .

$81 - 162 + 99 + 12 (- 3) + 18$

Étape 4.1.6

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$81 - 162 + 99 - 36 + 18$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$- 81 + 99 - 36 + 18$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 81$ et $99$ .

$18 - 36 + 18$

Étape 4.2.3

Soustrayez $36$ de $18$ .

$- 18 + 18$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 18$ et $18$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 11 x^{2} + 12 x + 18}{x + 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(6)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$
	$1$	$3$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$
	$1$	$3$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(12)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(6)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(18)$ .

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$6$	$11$	$12$	$18$
		$- 3$	$- 9$	$- 6$	$- 18$
	$1$	$3$	$2$	$6$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (2) x + 6$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 x + 6$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 3) + x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

$(x + 3) x^{2} (x + 3) + 2 (x + 3)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x + 3) (x + 3) (x^{2} + 2)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$6 x^{3} + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3} + 12 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x^{2}) + 6 x (2)$ .

$6 x (x^{2} + 2) + x^{4} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} + 11 x^{2} + 18 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$6 x (x^{2} + 2) + u^{2} + 11 u + 18 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} + 11 u + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $11$ .

$2, 9$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (u + 9) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $6 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $6 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (6 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 2) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 2) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

Étape 9.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.9.1

Réorganisez les termes.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

Étape 9.9.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

Étape 9.9.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 9.9.4

Réécrivez le polynôme.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 9.9.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 3)}^{2} = 0$

Étape 9.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 12

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 12.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 3$

Étape 14